équation de la tangente à une courbe à un abscisse donné |Piger-lesmaths

Nous allons voir dans ce cours la méthode à suivre pour déterminer l’ équation de la tangente à une courbe à un point donné.

Contenu

Théorème : équation de la tangente à une courbe

Soit C_f la courbe représentative d’une fonction f dérivable dans un intervalle I.

Prenons le point a ∈ I. La tangente à la courbe C_f au point A( a ; f(a) ) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est $f' (a)$ .

L’ équation de la tangente à C_f au point A d’ abscisse a est sous la forme suivante :

$y = f (a) + f' (a) (x - a)$

Exercices sur l’ équation de la tangente à une courbe

Exercice 1 : Équation de la tangente à une courbe

On considère une fonction ƒ dont on ne précise pas la formule algébrique et qui est dérivable au point d’ abscisse 2 et on a $y = f (a) + f' (a) (x - a)$ ( 2 ) = -3 et $y = f (a) + f' (a) (x - a)$ ‘ ( 2 ) = -7

Solution :

L’ équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’ abscisse 2 est :

$y = f (a) + f' (a) (x - a)$

⟺ $y = f (a) + f' (a) (x - a)$

Exercice 2 : Équation de la tangente à une courbe

On considère la fonction f définie sur R par f ( x ) = x³ – 3x + 1

La courbe C_f représentative de f est la suivante :

Question 1 : Déterminer les équations des tangentes aux points A et B d’abscisses respectives -2 et 0 de la courbe représentative de f .

Questions 2 : Construire les tangentes aux points A et B.

Solution :

Question 1 :

f( x ) est un polynôme. Donc, il est dérivable sur R et cela veut dire que f peut avoir une tangente au point d’ abscisse -2 et 0.

f ‘( x ) = ( x³ – 3x + 1 )’ = 3x² – 3

Au point d’ abscisse -2 :

L’ ordonnée du point d’abscisse -2 est : f (–2) = ( -2 )³ – 3 x ( -2 ) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1

La dérivée de f au point -2 : f ‘(–2) = 3 ( -2 )² – 3 = 3 x 4 – 3 = 12 – 3 = 9

L’ équation de la tangente est :

$y = f (a) + f' (a) (x - a)$

Donc, l’ équation de la tangente est : $y = f (a) + f' (a) (x - a)$

Au point d’ abscisse 0 :

L’ ordonnée du point d’abscisse 0 est : f ( 0) = 0 – 3 x 0 + 1 = 1

La dérivée de f au point 0 : f ‘( 0 ) = 3 x 0 – 3 = – 3

l’ équation de la tangente est : $y = f (a) + f' (a) (x - a)$ $y = f (a) + f' (a) (x - a)$

Donc, l’ équation de la tangente à la forme suivante : $y = f (a) + f' (a) (x - a)$

Questions 2 : Construire les tangentes aux points A et B :

( Voir Comment Représenter Graphiquement une fonction affine )

Si ce n’est pas encore clair sur l’ équation de la tangente à une courbe, n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas.

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Déterminer l’ équation de la tangente à une courbe à un abscisse donné